魏爾斯特拉斯函數(shù)

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       魏爾斯特拉斯(Weierstrass,Karl Wilhelm Theodor),1815年生于德國威斯特代利亞地區(qū)的奧斯登費爾特,1897年2月19日卒于柏林.
　　在校期間, 魏爾斯特拉斯研讀過拉普拉斯的《天體力學(xué)》和雅可比的《橢圓函數(shù)新理論基礎(chǔ)》。前者奠定了他終生對于動力學(xué)和微分方程論感興趣的基礎(chǔ)，后者對他當(dāng)時的數(shù)學(xué)水平稍難了些。他還鉆研過斯坦納的一些論文，后來成為斯坦納數(shù)學(xué)論著的編篡者。不過，這段時間，阿貝爾是他最大的鼓舞源泉。他在晚年給李的信中說：在 1830年的《克雷爾雜志》上讀到阿貝爾致勒讓德的信，"在大學(xué)生涯中對我無比重要，從確定λ(x)（阿貝爾引進的函數(shù)）滿足的微分方程來直接導(dǎo)出其表示形式，這是我自己確立的第一個數(shù)學(xué)課題；我有幸的到了這個問題的解。這促使我下決心獻身數(shù)學(xué)，我是在第七學(xué)期作出這個決定的。"1838年秋，他令人驚訝的放棄成為法學(xué)博士候選人，因此離開波恩時他沒有學(xué)位。


　　1839年5月，魏爾斯特拉斯到明斯特附近的神學(xué)哲學(xué)院，遇到了使他終身銘記的古德曼。古德曼熱忠于橢圓函數(shù)，其基本思想是把函數(shù)展開為冪級數(shù)，這正是魏爾斯特拉斯的解析函數(shù)論的基石。

　　1840年2月，魏爾斯特拉斯報名參加中學(xué)教師任職資格國家考試。古德曼應(yīng)魏爾斯特拉斯的請求為筆試出了一個很難的數(shù)學(xué)問題：求橢圓函數(shù)的冪級數(shù)展開。而對于自己學(xué)生論文給予了高度評價。1841年4月，魏爾斯特拉斯通過口試，在明斯特文科中學(xué)見習(xí)一年。1840至1842年1月，魏爾斯特拉斯寫下了4篇論文：《關(guān)于模函數(shù)的展開》，《單復(fù)變量解析函數(shù)的表示》，《冪級數(shù)論》，《借助代數(shù)微分方程定義的單復(fù)變量解析函數(shù)》（但直到他的全集刊印才面世）。這些論文顯示了他建立函數(shù)論的基本思想和結(jié)構(gòu)，其中有用冪級數(shù)定義復(fù)函數(shù)，橢圓函數(shù)的展開，圓環(huán)內(nèi)解析函數(shù)的展開（早于羅朗兩年），冪級數(shù)系數(shù)的估計（獨立于柯西），一致收斂概念和解析開拓原理。

　　1848年秋魏爾斯特拉斯轉(zhuǎn)至東普魯士不倫斯堡的皇家天主教文科中學(xué)，在該校年鑒上發(fā)表了《關(guān)于阿貝爾積分論》，這是一篇劃時代的論文，可惜無人察覺。

　　1853年，魏爾斯特拉斯在父親家中度假，研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心寫作關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文。該論文于1854年發(fā)表于《克雷爾雜志》，引起數(shù)學(xué)界矚目�？死谞栒f它表明作者已列入阿貝爾和雅可比的最出色的后繼者的行列。劉維爾稱它?quot;科學(xué)中劃時代工作之一"，并立即譯成法文發(fā)表在他所創(chuàng)辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上。雅可比的后繼者、柯尼斯堡大學(xué)教授里歇洛說服校方授予魏爾斯特拉斯名譽博士學(xué)位，并親赴不倫斯堡頒發(fā)證書。

　　在庫默爾推薦下，1856年柏林大學(xué)聘任魏爾斯特拉斯為副教授。11月19日，他當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。1864年成為柏林大學(xué)教授。

　　在柏林大學(xué)就任后，魏爾斯特拉斯即著手系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)分析（包括復(fù)分析）的基礎(chǔ)，并進一步研究橢圓函數(shù)與阿貝爾函數(shù)。幾年以后他就聞名遐爾，成為德國以至全歐洲知名度最高的數(shù)學(xué)教授。
魏爾斯特拉斯于1973年出任柏林大學(xué)校長。緊張的工作影響了他的健康，但其智力未見衰退。他的70華誕慶典規(guī)模頗大，遍布全歐各地的學(xué)生趕來向他致敬。10年后的80大壽更加隆重，在某種程度上，他簡直被看作德意志的民族英雄。

　　魏爾斯特拉斯與柯瓦列夫斯卡婭的友誼，是他后期生活中的一件大事�？峦吡蟹蛩箍▼I于1869年在海德堡大學(xué)師事柯尼斯伯格，后者是魏爾斯特拉斯早期弟子之一。1870年秋，年方20、聰慧美麗的柯瓦列夫斯卡婭見到了魏爾斯特拉斯，后者發(fā)現(xiàn)了她的優(yōu)異天賦，試圖說服柏林大學(xué)評議會同意她聽課，但遭拒絕。于是他抽出業(yè)余時間為她免費講課，每周兩次，一直持續(xù)到1874年秋，并幫助她以關(guān)于偏微分方程的著名論文在哥廷根獲得學(xué)位。1888年，柯瓦列夫斯卡婭以剛體繞定點運動的研究獲得巴黎科學(xué)院大獎，這對于他是極大慰藉。兩年后她的去世則是對他一個沉重打擊，以至他燒毀了她寫給他的全部信件。

　　1897年初，魏爾斯特拉斯染上流行性感冒，后轉(zhuǎn)為肺炎，于2月19日溘然長逝，享年82歲。

　　魏爾斯特拉斯在數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域中的最大貢獻，是在柯西、阿貝爾等開創(chuàng)的數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格化潮流中，以ε-δ語言，系統(tǒng)建立了實分析和復(fù)分析的基礎(chǔ)，基本上完成了分析的算術(shù)化。他引進了一致收斂的概念，并由此闡明了連續(xù)函數(shù)項級數(shù)的逐項積分和微分的定理。在建立分析基礎(chǔ)過程中，引進了實數(shù)軸和n維歐氏空間中一系列拓撲概念，并將黎曼積分推廣到在一個可數(shù)集上不連續(xù)的函數(shù)上。1872年，魏爾斯特拉斯給出了第一個處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的例子，使人們意識到連續(xù)性與可微性的差異，由此引出了一系列諸如皮亞諾曲線等反常性態(tài)的函數(shù)的研究。

　　魏爾斯特拉斯以其解析函數(shù)理論與柯西、黎曼同為復(fù)變函數(shù)論的奠基人�？巳R因在比較魏爾斯特拉斯與黎曼時說："黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才 勝過所有時代的數(shù)學(xué)家�！�…魏爾斯特拉斯主要是一位邏輯學(xué)者，他緩慢的、系統(tǒng)的逐步前進。在他工作的分支中，他力圖達到確定的形式。"龐加萊寫到："黎曼的方法首先是一種發(fā)現(xiàn)方法，而魏爾斯特拉斯的則首先是一種證明的方法。"

魏爾斯特拉斯函數(shù)【具體介紹】
德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815－1897）于1872年(可能在1861年已經(jīng)構(gòu)造，但1872年才正式發(fā)表）利用函數(shù)項級數(shù)構(gòu)造出了人們認識到的第一個處處連續(xù)而處處不可導(dǎo)的函數(shù)，為上述猜測做了一個否定的終結(jié)。
在維爾斯特拉斯的原始論文中，這個函數(shù)被定義為：
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這里0 < a < 1, b是奇整數(shù)，且
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這個構(gòu)造過程，連同處處不可導(dǎo)的證明，發(fā)表在維爾斯特拉斯的論文（“K&#246;nigliche Akademie der Wissenschaften” on July 18, 1872.）中。
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