計算電磁學的統(tǒng)一視角

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引言
計算電磁學(CEM)已成為分析和設計各種電磁系統(tǒng)的不可或缺工具，應用范圍從天線和微波線路到無線通信和雷達系統(tǒng)。本文提供了CEM不同數(shù)值方法的基本原理的統(tǒng)一視角，強調(diào)了它們共同的數(shù)學框架和關系[1]。
$ b$ V% H1 J+ o
加權殘差法：統(tǒng)一框架
, _+ y* H- i0 O  J大多數(shù)CEM技術的核心是加權殘差法(MWR)，允許我們通過將復雜電磁問題的解投影到簡單的基函數(shù)上來近似求解。MWR過程包括兩個關鍵步驟：

展開：未知解被近似為已知基函數(shù)的加權和。

殘差最小化：通過強制近似解與精確解之間的誤差(殘差)與一組權重函數(shù)正交來最小化誤差。
; u7 ~$ S9 `% P- s2 x[/ol]
數(shù)學上，可以將這個過程表示如下：
3 l% a7 X4 `" i+ T9 P5 D  O" K' ~
考慮形式為以下的算子方程：

Lu(r, t) - g(r, t) = 0
' P* g+ q  ?! y" S  }
  Y  X' ?* T" g# @4 V) b5 f5 W其中L是微分或積分算子，u(r, t)是未知解，g(r, t)是已知源項。

& f" U1 @. y- S# |' b我們將解近似為：
+ f  d# q  R6 `
! R( M% T. ~7 }: S* k; d' ~5 Q/ Ou(r, t) ≈ ?(r, t) = Σ(n=1 to N) an φn(r, t)
% K. [# b- _% c7 B( {- U4 k
) ^- Y4 d/ J3 o5 L" N" I3 O其中φn是基函數(shù)，an是未知系數(shù)。

然后殘差誤差為：
% z& ]0 r- K0 r
R(r, t) = L?(r, t) - g(r, t)
8 C3 t) U. B$ {7 K
我們通過設置以下條件來最小化這個誤差：
+ [: ?# ~5 A  l* q
+ O% y$ `3 t6 H% V0 I6 ?. _4 M = 0

其中w_m是權重函數(shù)，表示內(nèi)積。
6 I8 [2 e% j- A! l7 z( r4 ?
1 h9 G: t7 `, F$ C" P$ ?. x( n這個過程導致一個可以求解未知系數(shù)an的方程組。

1 V$ _6 E: V& F# p  L5 V3 \圖1：Rooftop基函數(shù)(a)和由這些基函數(shù)求和形成的近似解(b)的圖示。

0 s4 {5 b, c% ]5 V3 u' C內(nèi)積空間和收斂性
MWR框架重度依賴于內(nèi)積空間的概念。這些是具有滿足某些性質（如線性和正定性）的內(nèi)積運算的函數(shù)空間。內(nèi)積的選擇可以顯著影響數(shù)值方法的性能和穩(wěn)定性。

任何CEM技術的一個關鍵考慮因素是收斂性 - 隨著我們增加基函數(shù)的數(shù)量，我們的近似解接近精確解的程度如何？雖然證明一般情況下的收斂性可能具有挑戰(zhàn)性，但我們通�？梢酝茖С鲈趯嵺`中用于檢查收斂性的特定條件。
+ |; t% t) G9 Z# I; E7 C5 M; L
. ~+ a( Z. w7 J: X9 Z0 u; {! }收斂的一個必要條件是展開系數(shù)an必須有界：
( K% y" R6 ^# q/ {' t6 [; m' Y
, ?, y+ W. L: X5 b4 `+ e  h|an|
, c: S6 D5 F% c2 k. Q( c$ I
頻域方法
許多CEM技術在頻域中操作，求解時諧麥克斯韋方程。一些流行的頻域方法包括：
) M( ?( A" d$ {( a
1. 有限差分法
有限差分法使用離散差分方程近似導數(shù)。在MWR框架中，這可以被視為使用Rooftop函數(shù)作為基函數(shù)和狄拉克δ函數(shù)作為權重函數(shù)。

: ]+ Y, [8 P4 z) e7 J5 q$ r0 b: R/ I
圖2：Rooftop基函數(shù)導數(shù)(a)和試驗函數(shù)導數(shù)(b)的圖示。

8 o) t6 ~; X# Z) B2. 有限元法(FEM)
' x* H& h8 g4 MFEM將問題域劃分為小元素，通常是三角形或四面體。在每個元素內(nèi)，解使用形狀函數(shù)近似。FEM的MWR公式通常使用這些相同的形狀函數(shù)作為基函數(shù)和權重函數(shù)（伽遼金方法）。
2 x7 d+ G8 i$ T
# X# z- g; `3 S5 O9 L% w5 j圖3：有限元法中二維域劃分為三角形元素的示意圖。
3 [' N# p; Z  ^  r9 u; i2 Q
/ W- x# s( y, T% X9 U1 K3 W0 ?) ]3. 矩量法(MoM)
' |6 H5 \) Y  d# C) u9 F: S6 b; vMoM特別適合求解積分方程，使用一組基函數(shù)來展開未知量（通常是電流密度）和一組權重函數(shù)來強制邊界條件。

4. 積分方程法
0 a' _) @/ i1 G9 e# ]; u# w這些方法使用麥克斯韋方程的積分形式來求解場量或電流/電荷分布，對于開放邊界問題特別有用。


圖4：帶有單位電勢的帶電帶狀體示例，經(jīng)常用于說明積分方程方法。

5. 譜域方法
這種技術在空間頻率域中求解電磁問題，使其特別適合于平面結構，如微帶線。
- I, J! ]7 x# l7 P. d+ K/ i, C! M
& a  W4 q/ u# X! l  \6. 無網(wǎng)格方法
9 P3 I7 `7 E6 D4 s2 \與傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的方法不同，無網(wǎng)格方法使用一組散布的節(jié)點來表示問題域。基函數(shù)與這些節(jié)點相關聯(lián)，而不是與固定網(wǎng)格相關聯(lián)。


圖5：無網(wǎng)格方法中使用的支持域和周圍節(jié)點的圖示。

時域方法
9 M0 ]- c* U& o3 d7 \! t頻域方法很強大，但許多問題更自然地在時域中求解。時域技術直接模擬電磁場的時間演化。一些關鍵的時域方法包括：
' m: O7 g$ {& v
. C. [  Y* e) s1. 有限差分時域(FDTD)方法
& I( l7 b, h2 K- X; \, nFDTD同時離散化空間和時間，使用中心差分近似麥克斯韋方程中的空間和時間導數(shù)�？梢酝ㄟ^在空間和時間中使用脈沖函數(shù)從MWR框架推導出來。
" x7 ^7 B; U- h3 m
2. 傳輸線矩陣(TLM)方法
TLM使用與傳輸線的類比來模擬波傳播。將空間離散化為傳輸線段網(wǎng)絡，通過跟蹤在這個網(wǎng)絡中傳播的電壓脈沖來模擬波傳播。
, V3 n& o: |4 a. v( Q' |, F* z4 u; P

  }% S7 ]+ G. q圖6：(a) 2D和(b) 3D傳輸線矩陣(TLM)模型的圖示。
. }9 p7 b' }6 t7 {5 X, O: J7 k( }
3. 時域有限元法(TD-FEM)
TD-FEM結合了FEM的空間離散化和時間步進方案來求解時變麥克斯韋方程。
) o& s5 h- `- L5 X! ~5 C' s
4. 時域積分方程(TDIE)方法
1 J" P( J) J- z+ d: D# Q; D8 W1 m1 E這些方法求解積分方程的時域版本，通常使用時間步進(MOT)方案在離散時間步驟中推進解。
8 a$ x1 e/ [/ K$ G8 R- K3 B$ x
5. 時域無網(wǎng)格方法
( x, U  J7 G- H/ h* C- G) a無網(wǎng)格方法也可以擴展到時域問題，在節(jié)點放置上提供靈活性，無需結構化網(wǎng)格。

統(tǒng)一視角和關系
  n2 q6 e0 X3 i+ [) p  }7 U通過MWR的視角來看待所有這些方法，我們可以理解它們的相似性和差異：
. d& H: H) R1 C- F

基函數(shù)和權重函數(shù)的選擇在很大程度上決定了每種方法的特性。

頻域和時域方法通常密切相關，時域方法本質上是在每個時間步長求解一系列頻域問題。

許多方法可以被視為更一般方法的特殊情況。例如，F(xiàn)EM和有限差分方法可以通過特定的節(jié)點排列和基函數(shù)推導為無網(wǎng)格方法的特殊情況。
* q% f" x2 k/ S! k5 o! |) ~* g, c
3 d/ g* y: x3 ^! V" [, @

圖7：圖示展示了基于節(jié)點的無網(wǎng)格方法如何通過特定的節(jié)點排列演變成有限元方法（中）和有限差分方法（下）。
7 q9 H& P# b. f$ O
數(shù)值色散和誤差分析
2 }* u$ m$ X; x任何CEM技術的一個關鍵方面是理解其準確性和限制。一個常見的問題是數(shù)值色散，其中模擬的波傳播特性與真實物理行為不同。這可以通過檢查方法在譜域中的色散關系來分析。
' z3 u( l* q! k% B$ C
例如，F(xiàn)DTD方法具有以下數(shù)值色散關系：

0 I5 i  D9 E7 a; j[sin(kx Δx/2)/Δx]^2 + [sin(ky Δy/2)/Δy]^2 + [sin(kz Δz/2)/Δz]^2 = [sin(ωΔt/2)/(cΔt)]^2
# L: [4 J' x8 R6 L  ]' _
" }4 ]0 x0 V) ~+ x% x; i4 S- W6 _$ {% G7 M其中kx、ky、kz是波數(shù)，Δx、Δy、Δz是空間離散化步長，Δt是時間步長，c是光速。

隨著離散化變得更細，這個關系接近連續(xù)電磁學的理想球面色散關系，但對于較粗的網(wǎng)格會偏離。

2 F5 U( c8 s6 m3 e0 M結論
7 d/ w7 }/ ^( u. H2 V4 m* o本文提出的計算電磁學統(tǒng)一視角，以加權殘差法為中心，為理解和開發(fā)數(shù)值技術提供了強大的框架。通過認識各種方法的共同數(shù)學基礎，研究人員和工程師可以：

根據(jù)給定問題的特性和要求選擇最合適的方法。

開發(fā)結合不同方法優(yōu)點的混合技術。

分析和改進數(shù)值算法的準確性、穩(wěn)定性和效率。

探索新的公式和基函數(shù)來解決具有挑戰(zhàn)性的電磁問題。
[/ol]
  k/ |4 V  _! w' C8 M3 d8 c隨著計算電磁學領域的不斷發(fā)展，這種統(tǒng)一的視角對于推動電磁仿真和設計的可能性邊界將是很重要的。未來的研究方向可能包括：

開發(fā)針對特定問題類型的更高效基函數(shù)。

探索機器學習技術來增強傳統(tǒng)CEM方法。

推進將電磁學與其他物理現(xiàn)象耦合的多物理場仿真。

改進并行計算策略以處理更大、更復雜的系統(tǒng)。
9 P# T9 G$ {9 ]' X/ x* ^
! ^( e* W( i9 S4 Z& B通過理解統(tǒng)一各種CEM技術的基本原理，研究人員和從業(yè)者可以繼續(xù)創(chuàng)新并擴展電磁建模和仿真的能力。
+ L, l2 G, m" Q, B" a( x( Q
參考文獻
8 U) h5 x$ d6 b[1] Z. Chen, C. Wang and W. J. R. Hoefer, "A Unified View of Computational Electromagnetics," in IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 70, no. 2, pp. 955-969, Feb. 2022, doi: 10.1109/TMTT.2021.3138911.

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3 [* C" e7 `& P' x7 Y, B
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